Conseils utiles

Comment trouver le dérivé racine

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Considérons une fonction de puissance de la variable x avec l'exposant a:
(3) .
Ici, a est un nombre réel arbitraire. D'abord, considérons le cas.

Pour trouver la dérivée de function (3), nous utilisons les propriétés de la fonction power et les transformons sous la forme suivante:
.

La formule (1) est prouvée.

Dérivation d'une formule dérivée d'une racine de degré n de x à degré m

Considérons maintenant une fonction qui est la racine du formulaire suivant:
(4) .

Pour trouver la dérivée, nous transformons la racine en une fonction de pouvoir:
.
En comparant avec la formule (3), nous voyons que
.
Alors
.

Par la formule (1) on trouve le dérivé:
(1) ,
,
(2) .

En pratique, il n’est pas nécessaire de mémoriser la formule (2). Il est beaucoup plus pratique de convertir d'abord les racines en fonctions puissantes, puis de rechercher leurs dérivées à l'aide de la formule (1) (voir les exemples à la fin de la page).

Dérivés d'ordre supérieur

Maintenant, nous trouvons les dérivées d'ordre supérieur de la fonction de puissance
(3) .
Le dérivé de premier ordre que nous avons déjà trouvé:
.

En prenant la constante a au-delà du signe de la dérivée, on trouve la dérivée de second ordre:
.
De même, on trouve des dérivés des troisième et quatrième ordres:
,

.

Cela montre que dérivée d'ordre n arbitraire a la forme suivante:
.

Notez que si a est un entier positif,, alors la nième dérivée est constante:
.
Alors tous les dérivés ultérieurs sont égaux à zéro:
,
à.

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