Conseils utiles

Factorisation de la racine carrée: insertion et retrait

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Le nombre de sources utilisées dans cet article est 8. Vous en trouverez la liste au bas de la page.

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Simplifier la racine carrée n’est pas du tout aussi difficile que cela puisse paraître. Il vous suffit de factoriser le nombre et d'extraire les carrés complets sous le signe racine. En vous souvenant des carrés les plus courants et en apprenant à factoriser le nombre, vous pouvez facilement simplifier les racines carrées.

Factorisation de la racine

Tout d'abord, nous définissons l'objectif de la procédure de factorisation de la racine carrée. But - Simplifiez la racine carrée et écrivez-la sous une forme pratique pour les calculs.

Factorisation de la racine carrée - recherche de deux nombres ou plus qui, multipliés les uns par les autres, donneront un nombre égal à l'original. Par exemple: 4 × 4 = 16.

Si vous trouvez les facteurs, vous pouvez facilement simplifier l'expression avec la racine carrée ou l'éliminer complètement:

Divisez le nombre de racine par 2 s'il est pair.

Le nombre racine devrait toujours être divisé en nombres premiers, car toute valeur d'un nombre premier peut être factorisée. Si vous avez un nombre impair, essayez de le diviser par 3. Non divisible par 3? Diviser encore par 5, 7, 9, etc.

Écrivez l'expression comme racine du produit de deux nombres.

Par exemple, 98: = 98 ÷ 2 = 49 peut être simplifié de cette manière. Il en résulte que 2 × 49 = 98, nous pouvons donc réécrire le problème comme suit: 98 = (2 × 49).

Continuez à disposer les nombres jusqu'à ce que le produit de deux nombres identiques et d'autres nombres reste sous la racine.

Prenons notre exemple (2 × 49):

Puisque 2 est déjà simplifié autant que possible, il est nécessaire de simplifier 49. Nous recherchons un nombre premier par 49. De toute évidence, ni 3 ni 5 ne conviennent. Il reste 7: 49 ÷ 7 = 7, donc 7 × 7 = 49.

Nous écrivons un exemple sous la forme suivante: (2 × 49) = (2 × 7 × 7).

Simplifiez l'expression avec une racine carrée.

Puisque entre parenthèses nous avons le produit de 2 et deux nombres identiques (7), nous pouvons prendre le nombre 7 en dehors du signe de la racine.

( 2 × 7 × 7 ) = ( 2 ) × ( 7 × 7 ) = ( 2 ) × 7 = 7 ( 2 ) .

Au moment où deux nombres identiques apparaissent sous la racine, arrêtez de factoriser les nombres. Bien sûr, si vous utilisiez toutes les possibilités au maximum.

Rappelez-vous: certaines racines peuvent être simplifiées plusieurs fois.

Dans ce cas, les nombres que nous extrayons de la racine et ceux qui se trouvent devant sont multipliés.

180 = ( 2 × 90 ) 180 = ( 2 × 2 × 45 ) 180 = 2 45

mais 45 peut être factorisé et la racine peut être simplifiée à nouveau.

180 = 2 ( 3 × 15 ) 180 = 2 ( 3 × 3 × 5 ) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Lorsqu'il est impossible d'obtenir deux nombres identiques sous le signe de la racine, cela signifie qu'il est impossible de simplifier une telle racine.

Si, après avoir décomposé l'expression radicale en un produit de nombres premiers, vous ne pouvez pas obtenir deux nombres identiques, une telle racine ne peut pas être simplifiée.

70 = 35 × 2, donc 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5, donc (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Comme vous pouvez le constater, ces trois facteurs sont des nombres premiers qui ne peuvent pas être factorisés. Parmi eux, il n'y a pas de nombres identiques, il n'est donc pas possible de prendre un entier sous la racine. Pour simplifier 70 non autorisé.

Plein carré

Rappelez-vous quelques carrés de nombres premiers.

Le carré du nombre est obtenu si on le multiplie par lui-même, c'est-à-dire lors de la quadrature. Si vous vous souvenez d'une douzaine de carrés de nombres premiers, cela simplifiera grandement votre vie en simplifiant davantage les racines.

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

Si sous le signe de la racine carrée se trouve un carré entier, il vaut la peine de supprimer le signe de la racine et d'écrire la racine carrée de ce carré.

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Essayez de décomposer le nombre sous le signe racine en le produit d’un carré et d’un autre nombre.

Si vous voyez que l'expression radicale se décompose en le produit d'un carré et d'un certain nombre, rappelez-vous quelques exemples pour gagner beaucoup de temps et de nerfs:

50 = (25 × 2) = 5 2. Si le nombre radical se termine par 25, 50 ou 75, vous pouvez toujours le décomposer en un produit de 25 et un nombre.

1700 = (100 × 17) = 10 17. Si le nombre racine se termine par 00, vous pouvez toujours le décomposer en le produit de 100 et un nombre.

72 = (9 × 8) = 3 8. Si la somme des chiffres du nombre radical est 9, vous pouvez toujours la décomposer en le produit de 9 et un nombre.

Essayez de décomposer le nombre racine en le produit de plusieurs carrés complets: enlevez-les de sous le signe racine et multipliez-les.

72 = ( 9 × 8 ) 72 = ( 9 × 4 × 2 ) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

Méthode 1. Division des expressions radicales

Record fraction

Si l'expression n'est pas représentée sous forme de fraction, il est nécessaire de l'écrire ainsi, il est donc plus facile de suivre le principe de division des racines carrées.

144 ÷ 36, cette expression doit être réécrite comme suit: 144 36

Utiliser un signe de racine unique

Si le numérateur et le dénominateur ont des racines carrées, il est nécessaire de noter leurs expressions de racine sous un signe de racine pour faciliter le processus de décision.

Rappelez-vous que l'expression racine (ou nombre) est une expression sous le signe de la racine.

144 36. Cette expression doit être écrite comme suit: 144 36

Fractionner les expressions racines

Divisez simplement une expression en une autre et écrivez le résultat sous le signe racine.

144 36 = 4, nous réécrivons cette expression comme suit: 144 36 = 4

Simplifier l'expression racine (si nécessaire)

Si l'expression racine ou l'un des facteurs est un carré entier, simplifiez-la.

Rappelez-vous qu'un carré entier est un nombre, qui est le carré d'un entier.

4 est un carré car 2 × 2 = 4. Il en découle:

4 = 2 × 2 = 2. Par conséquent, 144 36 = 4 = 2.

Méthode 2. Factorisation de l'expression radicale

Record fraction

Réécrivez l'expression sous forme de fraction (si elle est présentée comme ceci). Cela facilite grandement le processus de division des expressions à racines carrées, en particulier lors de la factorisation.

8 ÷ 36, réécrire donc 8 36

Facteur chacune des expressions radicales

Factor le nombre sous la racine, comme tout autre entier, écrivez uniquement les facteurs sous le signe de la racine.

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Simplifier le numérateur et le dénominateur de la fraction

Pour ce faire, factorisez les carrés complets sous le signe racine. Ainsi, le facteur de l'expression radicale deviendra le facteur devant le signe de la racine.

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, cela signifie: 8 36 = 2 2 6

Rationaliser le dénominateur (se débarrasser de la racine)

En mathématiques, il existe des règles selon lesquelles laisser la racine dans le dénominateur est un signe de mauvais ton, c'est-à-dire non autorisé. Si le dénominateur a une racine carrée, éliminez-vous-en.

Multipliez le numérateur et le dénominateur par la racine carrée dont vous devez vous débarrasser.

Dans l'expression 6 2 3, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par 3 pour s'en débarrasser au dénominateur:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Simplifier l'expression résultante (si nécessaire)

Si le numérateur et le dénominateur contiennent des nombres qui peuvent et doivent être réduits. Simplifiez les expressions comme n'importe quelle fraction.

2 6 simplifie à 1 3, donc 2 2 6 simplifie à 1 2 3 = 2 3

Méthode 3. Division des racines carrées avec des facteurs

Simplifier les facteurs

Rappelez-vous que les facteurs sont les nombres en face du signe racine. Pour simplifier les facteurs, vous devrez les diviser ou les réduire. Ne touchez pas aux expressions radicales!

4 32 6 16. D'abord, réduisons 4 6: divise par 2 le numérateur et le dénominateur: 4 6 = 2 3.

Simplifier les racines carrées

Si le numérateur est complètement divisible par le dénominateur, divisez. Sinon, simplifiez les expressions racines comme toutes les autres.

32 est divisible par 16, donc: 32 16 = 2

Multiplier les facteurs simplifiés par des racines simplifiées

Rappelez-vous la règle: ne laissez pas de racines dans le dénominateur. Par conséquent, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par cette racine.

Rationaliser le dénominateur (se débarrasser de la racine dans le dénominateur)

4 3 2 7. Multipliez le numérateur et le dénominateur par 7 pour vous débarrasser de la racine du dénominateur.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Méthode 4. Division par un binôme de racine carrée

Déterminer si le binôme (haricot) est dans le dénominateur

Rappelez-vous qu'un binôme est une expression qui comprend 2 monômes. Une telle méthode n'a lieu que dans les cas où le dénominateur est un binôme à racine carrée.

1 5 + 2 - il y a une case dans le dénominateur, puisqu'il y a deux monômes.

Trouver une expression conjuguée à un binome

Rappelons que la corbeille conjuguée est un binôme avec les mêmes monômes, mais avec des signes opposés. Pour simplifier l'expression et éliminer la racine du dénominateur, multipliez les binomes conjugués.

5 + 2 et 5 - 2 sont des binomes conjugués.

Multipliez le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué au binôme dans le dénominateur.

Cette option aidera à supprimer la racine du dénominateur, car le produit des binômes conjugués est égal à la différence des carrés de chaque terme binomial: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

1 5 + 2 = 1 ( 5 - 2 ) ( 5 - 2 ) ( 5 + 2 ) = 5 - 2 ( 5 2 - ( 2 ) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Il en résulte: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.

Astuces

  1. Si vous travaillez avec les racines carrées de nombres mélangés, convertissez-les en une fraction erronée.
  2. La différence entre l'addition et la soustraction à la division est qu'il n'est pas recommandé de simplifier les expressions radicales dans le cas d'une division (due aux carrés pleins).
  3. Jamais (!) Laissez la racine dans le dénominateur.
  4. Pas de fractions décimales ou mélangées avant la racine - vous devez les convertir en une fraction ordinaire, puis simplifier.
  5. Le dénominateur est-il la somme ou la différence de deux monômes? Multipliez-le par le binôme conjugué et éliminez la racine du dénominateur.

Une solution efficace existe!

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Fait 1
( bullet ) Prenez un nombre non négatif (a ) (c'est-à-dire (a geqslant 0 )). Puis (arithmétique) racine carrée à partir du nombre (a ) est appelé un tel nombre non négatif (b ), dont nous obtenons le nombre (a ): [ sqrt a = b quad text<то же="" самое,="" что=""> quad a = b ^ 2 ] Il découle de la définition que (a geqslant 0, b geqslant 0 ). Ces restrictions sont une condition importante pour l'existence d'une racine carrée et doivent être rappelées!
Rappelons que tout nombre au carré donne un résultat non négatif. C'est-à-dire (100 ^ 2 = 10000 geqslant 0 ) et ((- 100) ^ 2 = 10000 geqslant 0 ).
( bullet ) À quoi correspond ( sqrt <25> )? Nous savons que (5 ^ 2 = 25 ) et ((- 5) ^ 2 = 25 ). Puisque, par définition, nous devons trouver un nombre non négatif, alors (- 5 ) ne convient pas, donc, ( sqrt <25> = 5 ) (puisque (25 = 5 ^ 2 )).
La recherche de la valeur ( sqrt a ) s'appelle extraire la racine carrée du nombre (a ) et le nombre (a ) s'appelle l'expression racine.
( bullet ) En fonction de la définition, l'expression ( sqrt <-25> ), ( sqrt <-4> ), etc. ça n'a pas de sens.

Fait 2
Pour des calculs rapides, il sera utile d'apprendre le tableau des carrés de nombres naturels de (1 ) à (20 ): [ begin<| ll |> hline 1 ^ 2 = 1 & quad11 ^ 2 = 121 2 ^ 2 = 4 & quad12 ^ 2 = 144 3 ^ 2 = 9 & quad13 ^ 2 = 169 4 ^ 2 = 16 & quad14 ^ 2 = 196 5 ^ 2 = 25 & quad15 ^ 2 = 225 6 ^ 2 = 36 & quad16 ^ 2 = 256 7 ^ 2 = 49 & quad17 ^ 2 = 289 8 ^ 2 = 64 & quad18 ^ 2 = 324 9 ^ 2 = 81 & quad19 ^ 2 = 361 10 ^ 2 = 100 & quad20 ^ 2 = 400 hline end]

Fait 3
Quelles actions peuvent être effectuées avec des racines carrées?
( bullet ) La somme ou la différence des racines carrées n’est PAS égale à la racine carrée de la somme ou de la différence, c.-à-d. [ sqrt a pm sqrt b ne sqrt] Ainsi, si vous devez calculer, par exemple, ( sqrt <25> + sqrt <49> ), vous devez initialement rechercher les valeurs ( sqrt <25> ) et ( sqrt <49 > ), puis pliez-les. Par conséquent, [ sqrt <25> + sqrt <49> = 5 + 7 = 12 ] Si les valeurs ( sqrt a ) ou ( sqrt b ) ne peuvent pas être trouvées lors de l'ajout de ( sqrt a + sqrt b ), cette expression ne sera plus convertie et reste telle quelle. Par exemple, dans la somme ( sqrt 2+ sqrt <49> ), nous pouvons trouver ( sqrt <49> ) - c’est (7 ), mais ( sqrt 2 ) ne peut être converti de quelque manière que ce soit, donc ( sqrt 2+ sqrt <49> = sqrt 2 + 7 ). De plus, cette expression, malheureusement, ne peut en aucune manière être simplifiée ( bullet ) Le produit / quotient de racines carrées est égal à la racine carrée du produit / quotient, c’est-à-dire [ sqrt a cdot sqrt b = sqrt quad text<и> quad sqrt a: sqrt b = sqrt] (à condition que les deux côtés des égalités aient un sens)
Exemple: ( sqrt <32> cdot sqrt 2 = sqrt <32 cdot 2> = sqrt <64> = 8 ), ( sqrt <768>: sqrt3 = sqrt <768: 3> = sqrt <256> = 16 ), ( sqrt <(- 25) cdot (-64)> = sqrt <25 cdot 64> = sqrt <25> cdot sqrt <64 > = 5 cdot 8 = 40 ). ( bullet ) En utilisant ces propriétés, il est commode de trouver les racines carrées de grands nombres en les factorisant.
Prenons un exemple. Trouvez ( sqrt <44100> ). Depuis (44100: 100 = 441 ), alors (44100 = 100 cdot 441 ). Selon le critère de divisibilité, le nombre (441 ) est divisible par (9 ) (puisque la somme de ses chiffres est 9 et divisible par 9), donc (441: 9 = 49 ), c'est-à-dire (441 = 9 cdot 49 ).
Ainsi, nous obtenons: [ sqrt <44100> = sqrt <9 cdot 49 cdot 100> = sqrt9 cdot sqrt <49> cdot sqrt <100> = 3 cdot 7 cdot 10 = 210 ] Prenons un autre exemple: [ sqrt < dfrac <32 cdot 294> <27 >> = sqrt < dfrac <16 cdot 2 cdot 3 cdot 49 cdot 2> <9 cdot 3 >> = sqrt < dfrac <16 cdot4 cdot49> <9 >> = dfrac < sqrt <16> cdot sqrt4 cdot sqrt <49 >> < sqrt9> = dfrac < 4 cdot 2 cdot 7> 3 = dfrac <56> 3 ]
( bullet ) Expliquons comment entrer des nombres sous le signe de la racine carrée en utilisant l’exemple de l’expression (5 sqrt2 ) (notation abrégée tirée de l’expression (5 cdot sqrt2 )). Depuis (5 = sqrt <25> ), alors [5 sqrt2 = sqrt <25> cdot sqrt2 = sqrt <25 cdot 2> = sqrt <50> ] Remarque également qui par exemple
1) ( sqrt2 + 3 sqrt2 = 4 sqrt2 ),
2) (5 sqrt3- sqrt3 = 4 sqrt3 )
3) ( sqrt a + sqrt a = 2 sqrt a ).

Pourquoi Nous expliquons par l'exemple 1). Comme vous l'avez déjà compris, nous ne pouvons pas convertir le nombre ( sqrt2 ). Imaginez que ( sqrt2 ) soit un certain nombre (a ). En conséquence, l'expression ( sqrt2 + 3 sqrt2 ) ne ressemble en rien à (a + 3a ) (un numéro (a ) plus trois autres numéros identiques (a )). Et nous savons que cela équivaut à quatre tels nombres (a ), c’est-à-dire (4 sqrt2 ).

Fait 4
( bullet ) Souvent, ils disent "vous ne pouvez pas extraire la racine" quand vous ne pouvez pas vous débarrasser du signe ( sqrt <> ) de la racine (radical) lorsque vous trouvez la valeur d'un nombre. Par exemple, vous pouvez extraire la racine du nombre (16 ), car (16 = 4 ^ 2 ), donc ( sqrt <16> = 4 ). Mais extraire la racine du nombre (3 ), c’est-à-dire, trouver ( sqrt3 ), est impossible, car il n’existe pas de nombre tel que carré donne (3 ).
De tels nombres (ou expressions avec de tels nombres) sont irrationnels. Par exemple, les nombres ( sqrt3, 1+ sqrt2, sqrt <15> ), etc. sont irrationnels.
Les nombres ( pi ) (le nombre pi est approximativement égal à (3.14 )), (e ) (ce nombre est appelé le nombre d'Euler, est approximativement égal à (2.7 )). etc.
( bullet ) Nous attirons votre attention sur le fait que tout nombre sera soit rationnel, soit irrationnel. Et ensemble, tous les nombres rationnels et irrationnels forment un ensemble appelé beaucoup de vrais (vrais) nombres. Cet ensemble est désigné par la lettre ( mathbb) .
Ainsi, tous les nombres que nous connaissons actuellement s'appellent des nombres réels.

Fait 5
( bullet ) Le module d'un nombre réel (a ) est un nombre non négatif (| a | ) égal à la distance du point (a ) à (0 ) sur la ligne réelle. Par exemple, (| 3 | ) et (| -3 | ) sont égaux à 3, car les distances entre les points (3 ) et (- 3 ) à (0 ) sont identiques et égales à (3 ).
( bullet ) Si (a ) est un nombre non négatif, alors (| a | = a ).
Exemple: (| 5 | = 5 ), ( qquad | sqrt2 | = sqrt2 ). ( bullet ) Si (a ) est un nombre négatif, alors (| a | = -a ).
Exemple: (| -5 | = - (- 5) = 5 ), ( qquad | - sqrt3 | = - (- sqrt3) = sqrt3 ).
Ils disent que pour les nombres négatifs, le module "mange" moins, et que les nombres positifs, ainsi que le nombre (0 ), le module reste inchangé.
MAIS cette règle ne convient que pour les nombres. Si vous avez l'inconnu (x ) (ou un autre inconnu) sous le signe du module, par exemple, (| x | ), pour lequel nous ne savons pas s'il est positif, nul ou négatif, supprimez le module. nous ne pouvons pas. Dans ce cas, cette expression reste la même: (| x | ). ( bullet ) Les formules suivantes tiennent: [< large < sqrt= | a | >> ] [< large <( sqrt) ^ 2 = a >>, text <fourni> a geqslant 0 ] Cette erreur est souvent commise: ils disent que ( sqrt) et (( sqrt a) ^ 2 ) sont la même chose. Cela n’est vrai que si (a ) est un nombre positif ou zéro. Mais si (a ) est un nombre négatif, alors ce n'est pas vrai. Il suffit de considérer un tel exemple. Au lieu de (a ), prenez le nombre (- 1 ). Alors ( sqrt <(- 1) ^ 2> = sqrt <1> = 1 ), mais l'expression (( sqrt <-1>) ^ 2 ) n'existe pas (après tout, c'est impossible sous le signe racine mettre des nombres négatifs!).
Par conséquent, nous attirons votre attention sur le fait que ( sqrt) n'est pas égal à (( sqrt a) ^ 2 )! Exemple: 1) ( sqrt < left (- sqrt2 right) ^ 2> = | - sqrt2 | = sqrt2 ), car (- sqrt2,

( fantôme <00000> ) 2) (( sqrt <2>) ^ 2 = 2 ). ( bullet ) Depuis ( sqrt= | a | ), puis [ sqrt> = | a ^ n | ] (l'expression (2n ) désigne un nombre pair)
En d’autres termes, lorsqu’on extrait une racine d’un nombre qui est dans une certaine mesure, ce degré est réduit de moitié.
Un exemple:
1) ( sqrt <4 ^ 6> = | 4 ^ 3 | = 4 ^ 3 = 64 )
2) ( sqrt <(- 25) ^ 2> = | -25 | = 25 ) (notez que si vous ne mettez pas le module, il s'avère que la racine du nombre est (- 25 ), mais nous nous en souvenons , ce qui, par définition de la racine, ne peut pas être: nous devons toujours obtenir un nombre positif ou zéro lors de l'extraction de la racine)
3) ( sqrt> = | x ^ 8 | = x ^ 8 ) (étant donné que chaque nombre est également non négatif)

Fait 6
Comment comparer deux racines carrées?
( bullet ) Pour les racines carrées, c'est vrai: si ( sqrt a, alors (a, si ( sqrt a = sqrt b ), alors (a = b ).
Un exemple:
1) comparez ( sqrt <50> ) et (6 sqrt2 ). Commencez par convertir la seconde expression en ( sqrt <36> cdot sqrt2 = sqrt <36 cdot 2> = sqrt <72> ). Таким образом, так как (50 , то и (sqrt <50>. Следовательно, (sqrt <50>.
2) Между какими целыми числами находится (sqrt<50>) ?
Так как (sqrt<49>=7) , (sqrt<64>=8) , а (49 , то (7 , то есть число (sqrt<50>) находится между числами (7) и (8) .
3) Сравним (sqrt 2-1) и (0,5) . Предположим, что (sqrt2-1>0,5) : [egin &sqrt 2-1>0,5 ig| +1quad ext<(прибавим единицу к обеим частям)>[1ex] &sqrt2>0,5+1 ig| ^2 quad ext<(возведем обе части в квадрат)>[1ex] &2>1,5^2 &2>2,25 end] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1 .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
La quadrature des deux côtés d'une équation / inégalité ne peut être effectuée qu'une seule fois lorsque les deux côtés sont non négatifs. Par exemple, dans l'inégalité de l'exemple précédent, vous pouvez insérer les deux côtés dans le carré, dans l'inégalité (- 3, vous ne pouvez pas (voyez vous-même)! ( bullet ) Rappelez-vous que [ begin & sqrt 2 approx 1,4 [1ex] & sqrt 3 approx 1,7 end] Connaître la valeur approximative de ces nombres vous aidera à comparer les nombres! ( bullet ) Pour extraire la racine (si elle est extraite) d’un nombre important qui ne se trouve pas dans le tableau des carrés, vous devez d’abord déterminer entre «centaines», c’est - entre quels «dizaines», puis déterminez le dernier chiffre de ce nombre. Nous montrons comment cela fonctionne, en utilisant un exemple.
Prenez ( sqrt <28224> ). Nous savons que (100 ^ 2 = 10 , 000 ), (200 ^ 2 = 40 , 000 ), etc. Notez que (28224 ) est compris entre (10 ​​, 000 ) et (40 , ). Par conséquent, ( sqrt <28224> ) est compris entre (100 ) et (200 ).
Nous allons maintenant déterminer entre quels “dizaines” notre nombre est (c'est-à-dire, entre (120 ) et (130 )). Nous savons également grâce au tableau des carrés que (11 ^ 2 = 121 ), (12 ^ 2 = 144 ), etc., puis (110 ^ 2 = 12100 ), (120 ^ 2 = 14400 ), (130 ^ 2 = 16900 ), (140 ^ 2 = 19600 ), (150 ^ 2 = 22500 ), (160 ^ 2 = 25600 ), (170 ^ 2 = 28900 ). Ainsi, nous voyons que (28224 ) est compris entre (160 ^ 2 ) et (170 ^ 2 ). Par conséquent, le nombre ( sqrt <28224> ) est compris entre (160 ) et (170 ).
Essayons de déterminer le dernier chiffre. Rappelons-nous quels nombres à un chiffre lorsque carré est donné à la fin (4 )? Ceci est (2 ^ 2 ) et (8 ^ 2 ). Par conséquent, ( sqrt <28224> ) se terminera par 2 ou 8. Cochez cette option. Trouver (162 ^ 2 ) et (168 ^ 2 ):
(162 ^ 2 = 162 cdot 162 = 26224 )
(168 ^ 2 = 168 cdot 168 = 28224 ).
Par conséquent, ( sqrt <28224> = 168 ). Voila!

Afin de résoudre correctement l’examen d’État unifié en mathématiques, il faut d’abord étudier le matériel théorique, qui introduit de nombreux théorèmes, formules, algorithmes, etc. À première vue, cela peut sembler assez simple. Cependant, trouver une source dans laquelle la théorie de l’UTILISATION en mathématiques est présentée facilement et clairement aux étudiants peu importe leur niveau de formation est en réalité une tâche plutôt difficile. Les livres scolaires ne peuvent pas toujours être conservés sous la main. Et trouver les formules de base pour l'examen en mathématiques peut être difficile même sur Internet.

Pourquoi est-il si important d'étudier la théorie des mathématiques non seulement pour ceux qui réussissent l'examen?

  1. Parce que cela élargit l'esprit. L'étude de supports théoriques en mathématiques est utile pour quiconque souhaite obtenir des réponses à un large éventail de questions liées à la connaissance du monde. Tout dans la nature est ordonné et a une logique claire. C'est ce qui se reflète dans la science, à travers laquelle il est possible de comprendre le monde.
  2. Parce que ça développe l'intelligence. En étudiant les matériaux de référence pour l'examen en mathématiques et en résolvant divers problèmes, une personne apprend à penser de façon logique et à raisonner, à formuler correctement et clairement ses pensées. Il développe la capacité d'analyser, de généraliser, de tirer des conclusions.

Nous vous invitons à évaluer personnellement tous les avantages de notre approche en matière de systématisation et de présentation du matériel de formation.

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